CADRAN DE HAUTEUR DE REGIOMONTANUS

 

 

La réalisation d'un nocturlabe – cadran de Regiomontanus est un nouveau projet mené au lycée technique Edouard Branly de Créteil, avec des élèves de seconde.

Il faut maintenant passer de la maquette en carton, à l'objet en laiton…

 

Regiomontanus (Johann Müller 1436–1476) astronome de Königsberg (Franconie – Allemagne), est à l'origine de ce cadran universel de hauteur.

Regiomontanus en quelques dates :

1436 : naissance de Johann Müller ;

1450 : suit les cours de Peurbach à Vienne ;

1460 : rencontre du cardinal Bessarion, Venise, Rome, Padoue ;

1467 : installation à Nuremberg, création d’une imprimerie, d’un atelier d’instruments, d’un observatoire (1471) ;

1475 : appelé à Rome par le pape pour une réforme du calendrier ;

1476 : meurt de la peste à Rome.

 

Pour des images d'instruments ayant appartenu à Regiomontanus, suivre le lien suivant :

Instruments de Regiomontanus

Pour une description du cadran de Regiomontanus du musée des Arts et Métiers suivre :

Regiomontanus arts et metiers

 

Introducteur de la trigonométrie en Europe, Regiomontanus parvient, sur ce cadran, à réaliser "à plat" la relation de trigonométrie sphérique qui relie les quatre paramètres intervenant ici dans la recherche de l'heure :

 

 

· h = angle de hauteur du Soleil au-dessus de l'horizon,

· H = angle horaire (H = 0° à midi solaire, augmente de 15° chaque heure),

· j = latitude du lieu,

· d = déclinaison du Soleil le jour de l'observation.

 

Le fichier Excel suivant permet d'expérimenter la relation trigonométrique ci-dessus, et de visualiser le trajet du Soleil au-dessus de l'horizon. On peut :

· soit le consulter en cliquant sur le lien avec le bouton gauche (retour avec le bouton retour de votre navigateur),

· soit le télécharger en cliquant avec le bouton droit, puis en choisissant Enregistrer la cible sous… (22,5 Ko).

Soleil.xls

La maquette et sa version en DAO

 


 


 


Les dimensions du cadran

Les dimensions du cadran sont limitées par le rayon de la matrice, qui est 7 cm. Ce sera le côté du "capuchon de capucin".

En comptant 0,5 cm pour la graduation supérieure du calendrier, cela donne OB = 6,5 cm (voir schéma).

Le point O est le centre de l'instrument.

Les dimensions du capuchon sont les suivantes :

L'angle AÔB  vaut 23°27' (angle de l'écliptique).

OA = 6,5 cos 23°27' » 5,96 cm.

AB = OA tan 23°27' » 2,59 cm (c'est aussi le rayon du cercle pour les graduations horaires).


 


Lignes horaires

On place sur l'axe vertical le point D tel que OD » 2,59 cm.

On trace le demi-cercle inférieur de centre D et de rayon DC » 2,59 cm.

Les lignes horaires verticales sont tracées en prenant un angle au centre D tous les 15°.

Echelles et lignes de déclinaison

Il y a deux échelles de déclinaison et les lignes de déclinaison ne sont à tracer que dans le capuchon.


 


L'échelle supérieure permet de régler le bras en déclinaison. Les droites sont menées par O en formant, avec la verticale (OA) un angle d égal à la déclinaison le premier jour du mois (tableau ci-dessous). La droite (OA) correspond aux équinoxes. La droite (OB) au solstice d'hiver. Conserver les lignes de déclinaison à l'intérieur du capuchon.

L'échelle située sur le côté droit permet de régler la position de la perle sur le fil. La droite (OC) correspond aux équinoxes. Les autres graduations sont obtenues en prenant un angle d égal à la déclinaison, en O avec la direction (OC). Les droites de constructions ne sont pas à tracer sur le cadran.

 

sol hiver

1 JAN

1 FEV

1 MARS

1 AVRIL

1 MAI

1 JUIN

sol été

–23°27'

–23°03'

–17°17'

–7°51'

+4°16'

+14°52'

+21°52'

+23°27'

 

1 DEC

1 NOV

1 OCT

1 SEPT

1 AOUT

1 JUIL

 

 

–21°41'

–14°12'

–2°55'

+8°32'

+18°32'

+23°09'

 

Lignes de latitude

Les lignes horizontales de latitude terminent le quadrillage du capuchon. On obtient le point E sur l'axe vertical, permettant de les tracer, en prenant un angle EO égal à la latitude j . La droite (AB) correspond à la latitude 66°33' du cercle polaire. On ne pourra donc pas utiliser le cadran au delà.


 


Utilisation du cadran solaire

· On règle le bras en latitude (du lieu d'observation) et déclinaison (date d'observation).

· On règle la perle en déclinaison sur le calendrier de droite.

· On présente les pinnules au Soleil, inclinant le cadran de sorte qu'elles soient dans l'alignement des rayons solaires.

· La perle tombe sur la graduation correspondant à l'heure solaire vraie.

Pourquoi ce cadran fonctionne-t-il ?

Regiomontanus ne justifie pas sa construction. L'astronome Delambre s'est posé la question, non seulement de la démonstration, mais aussi de savoir comment avait pu cheminer Regiomontanus.

Pour le savoir, suivre le lien suivant :

L'explication de Delambre

 

Quadrant de hauteur et quadrant géométrique

Le "centre" du quadrant de hauteur est placé sur la ligne horizontale de la latitude 45° , à 3,5 cm de l'axe vertical de l'instrument, côté gauche. C'est sur ce point qu'il faut placer l'extrémité du petit bras pour faire fonctionner le quadrant de hauteur.

La graduation 90° de hauteur est située dans le prolongement de la ligne de 45° de latitude (il y a un défaut sur la maquette). Le fil pend le long de cette graduation, lorsqu'on vise le zénith à travers les pinnules.

De même, la graduation 0° de hauteur est à la verticale du "centre" du quadrant. Le fil pend sur cette graduation lorsqu'on vise à l'horizontale.


Le quadrant de hauteur, comme le carré des ombres (quadrant géométrique), sont "virtuels". Les deux échelles extérieures sont construites selon le principe suivant :

Les graduations du quadrant de hauteur sont obtenues à partir d'angles au centre régulièrement espacés de 10°, plus l'angle de 45°.

Les graduations du quadrant géométrique s'appuient sur le partage du carré. Elles sont données en prenant des angles symétriques par rapport à la diagonale à 45°, selon les valeurs du tableau suivant.

 

Graduation géométrique

Angle au centre

2

tan– 1 (2/12) » 9.46°

4

18.43°

6

26.56°

8

33.69°

10

39.81°

12

tan– 1 (12/12) = 45°

 

Références

· DELAMBRE – Histoire de l'astronomie du Moyen-Age – Paris 1819.

· HEBERT et VASSARD – Aspect instrumental de la trigonométrie dans l'Occident latin  in  Instruments scientifiques à travers l'histoire – Ellipses 2004.

 

· http://home.iae.nl/users/ferdv/regiom.htm

· http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Regiomontanus.html

 

 

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